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一、概述

圓柱、圓筒式稱重傳感器以其結構簡單緊湊，體積小，量程大，重量輕；彈性元件與保護外殼

的幾何形狀為簡單的圓柱、圓筒形，容易加工出較高的尺寸和形位精度；彈性元件剛度大，固有頻

率高，動態(tài)響應快；加載承載邊界可設計成雙平面、一平面一球面、雙球面多種結構形式等特點，

在各種結構的大型電子衡器中得到較為廣泛的應用。具有相同截面積的圓筒式與圓柱式彈性元件，

對于純軸向載荷的剛度相同，但圓筒式結構的彈性元件有更大的慣性矩，所以它具有更好的抗彎曲

能力，多應用于大型電子吊鉤秤。

從稱重傳感器彈性元件設計原則分析，盡管圓柱、圓筒式彈性元件具有十分突出的特點，但其

固有線性差，容易產(chǎn)生旋轉誤差等缺點也是非常致命的。因此必須作好彈性元件、保護外殼、壓頭

底墊結構設計和非線性補償，控制旋轉誤差，才能使其達到較高的準確度等級。圓柱、圓筒式稱重

傳感器產(chǎn)生非線性誤差的主要因素是：

（1）面積效應影響。彈性元件承受拉向、壓向載荷時，應變區(qū)截面積變化，導致P—σ關系的

非線性；

（2）泊松比效應影響。即彈性元件軸向和環(huán)向應變相差較大，致使電橋內某一橋臂電阻的變

化與相鄰橋臂電阻的反向變化不匹配，所引起的電橋非線性誤差；

（3）材料性能影響。應力應變關系主要是彈性元件材料的誤差，當應變程度較高時，其應力

應變關系并非完全線性，且滯后、蠕變及彈性模量不是理想的常數(shù)，載荷增加時非線性也增加；

（4）焊接密封膜片影響。主要是非線性的密封模片對載荷的分路作用，即當環(huán)境溫度變化時，

由于焊接膜片與外殼組成超靜定結構，因變形不協(xié)調而產(chǎn)生內應力，外殼尺寸改變導致密封腔內氣

體壓力變化，引起稱重傳感器溫度漂移。

圓柱、圓筒式彈性元件的旋轉誤差是附加的非測量應變量的函數(shù)，其影響因素是：

（1）圓柱、圓筒式彈性元件、引入載荷的壓頭、承受載荷的底墊機械加工的形位誤差影響，

主要是同心度、對稱度、平行度超差引起的各方位應變量不同；

（2）電阻應變計工作特性和彈性元件上電阻應變計的定位誤差，引起的附加應變量。

從前，對圓柱、圓筒式稱重傳感器的非線性誤差，多以理論分析為主，其結論大致相同：稱重

傳感器本身（包括彈性元件、電阻應變計、電橋電路）固有的非線性誤差一般比較小，對準確度影

響不大；彈性元件應變區(qū)的應變梯度和電阻應變計定位偏差對非線性影響甚大，減小此值可較大減

少非線性誤差；彈性元件、壓頭、底墊尺寸對應變區(qū)的應變梯度有影響，結構設計不合理將導致較

大的非線性誤差等等，沒有跳出傳統(tǒng)的理論分析模式�，F(xiàn)代稱重傳感器結構設計與計算，應采用數(shù)

學分析手段建立各項特性的數(shù)學模型，通過數(shù)學擬合公式對相關誤差進行分析和推算，給非線性補

償技術奠定理論基礎。為此必須掌握圓柱、圓筒式彈性元件結構特點，非理想加載（如偏心載荷、

側向載荷）、物理變量（如溫度、壓力、振動）對非線性的影響。本文通過建立數(shù)學模型和數(shù)學分

析方法，對圓柱、圓筒式彈性元件應變區(qū)面積效應產(chǎn)生的誤差，金屬材料泊松比引起的電橋電路非

線性誤差，焊接密封膜片對載荷分路作用造成的非線性誤差和電阻應變計定位偏差產(chǎn)生的旋轉加荷

誤差進行分析。

二、面積效應引起的非線性誤差

由面積效應、電橋各橋臂及類似的幾何參數(shù)變化而引起的高次影響，其典型值為：溫度變化60℃

時，影響量達0.1～0.2%。然而，它們對稱重傳感器輸出的影響，很難同溫度引起的別的誤差相區(qū)

別，故必須對所有這些效應的綜合作用所引起的輸出隨溫度變化進行補償。

通常，圓柱、圓筒式彈性元件的高度與直徑比H／D=3～5。由于圓柱、圓筒式結構還會受到非

軸向分力引起的二次效應的影響，所以必須采取措施，把軸向載荷同非軸向分量所產(chǎn)生的輸出分離

開來。

受面積效應影響，承受壓向載荷時彈性元件的剛度連續(xù)增大，而承受拉向載荷時則彈性元件的

剛度連續(xù)減小。這一論點是基于彈性模量保持恒定并與同時發(fā)生的密度變化無關的假設。然而，實

際上是承受壓向載荷時彈性模量稍稍增大，承受拉向載荷時彈性模量稍稍減小，結果使得面積效應

更加嚴重。雖然彈性模量的這種變化很小，以至在一般材料性能試驗中難以檢測出來，但從現(xiàn)代電

阻應變式稱重傳感器的準確度等級來說，其影響仍然是顯著的。即使不考慮彈性模量隨應力的變化，

我們至少可以估算出由于面積變化引起的非線性誤差。當圓柱式彈性元件的軸向應變每變化100με

時，面積變化所引起的非線性約為0.003%，這是很可觀的，絕對不能忽視。

與此相反，彎曲式和剪切式彈性元件，在承受等量拉伸和壓縮應力時其容積一般是相等的，無

面積效應影響，因此固有線性好。而圓柱、圓筒式彈性元件則固有線性很差，因此必須進行非線性

補償才能達到較高的準確度等級。

設圓柱式彈性元件的軸向應力σ，軸向應變ε，則初始截面積A0與載荷P的關系為：

0AP=σ

Eσε=0

則

EAP00=ε （1）

式中E為彈性元件金屬材料的彈性模量。當彈性元件承受拉向載荷作用時，環(huán)向變細，截面積

不斷減小，剛度連續(xù)降低，輸出不斷增加而產(chǎn)生非線性誤差；當彈性元件承受壓向載荷作用時，環(huán)

向變粗，截面積不斷增大，剛度連續(xù)升高，輸出不斷減少而產(chǎn)生非線性誤差�，F(xiàn)以承受壓向載荷的

圓柱式彈性元件為例分析非線性誤差，設彈性元件應變區(qū)截面的半徑為r，因r的增加而使應變區(qū)

截面積產(chǎn)生增量。

圓柱式彈性元件的環(huán)向應變εr=με0可視為半徑r的增量，則

()20202202επμμεππμεπ+=.+=ΔrrrA

略去高次項，得

△A=2πrμε0

彈性元件受載后的截面積為

A=A0＋△A=A0＋2πrμε0≈A0（1＋2με0） （2）

此時，彈性元件的軸向應變?yōu)?/SPAN>

（3）

略去式（3）中的高次項，則

(0021μεε.=EAP

（4）

將式（1）代人式（4）得

ε=ε0（1－2με0） （5）

將式（5）變?yōu)?/SPAN>

022020=+.

μεμεε （6）

解式（6）方程，得

202μεεε.= （7）

同理，對于承受拉向載荷，有

202μεεε+= （8）

由此，可以計算出面積效應引起的彈性元件非線性誤差：

對于拉向載荷

()εμεεεμεε56.02221==

.+

=Δ （9）

對于壓向載荷

()εμεεεμεε56.02221.=.=

..

=Δ （10）

由式（9）和式（10）不難看出，圓柱、圓筒式彈性元件的應變程度越高，面積效應影響越大。

這里說的應變程度，實際上是保證應變穩(wěn)定并與載荷成較嚴格線性關系的應變范圍，它是減少面積

效應引起的非線性誤差，提高稱重傳感器整體穩(wěn)定性的基礎和關鍵。因為圓柱、圓筒式彈性元件任

何幾何形狀的改變，必然伴隨出現(xiàn)一定程度的非線性影響，較低的應力、應變意味著對理想線性彈

性性能的偏差最小，也意味著彈性元件有較大的剛度和較高的固有頻率。

三、泊松比效應引起的電橋非線性誤差

稱重傳感器惠斯通電橋四個橋臂作用不相等而引起的非線性誤差，正如美國VISHAY測量集團

公司《測量集團技術評論》 第TN－507號“電橋非線性所引起的誤差”一文指出“此誤差乃是電橋內

某一橋臂電阻的變化與相鄰橋臂電阻的反向變化不匹配所引起的，即圓柱式彈性元件的泊松比效

應。圓柱式彈性元的軸向應變每變化100με時，電橋的非線性約為0.007%，此非線性誤差的符號

總是與面積效應引起的非線性誤差相反。因此電橋的非線性不僅抵消了，而且過度補償了幾何尺寸

變化引起的非線性。”由此不難得出，垂直于加荷軸線的平面的泊松面積變化，導致了P—σ關系的

非線性。其非線性誤差對于壓向稱重傳感器是正值；對于拉向稱重傳感器為負值。

研究分析圓柱、圓筒式稱重傳感器泊松比效應引起的電橋非線性誤差，對完成線性補償有一定

的指導作用。仍以圓柱式彈性元件為例，其電阻應變計粘貼位置和電橋電路如圖1、圖2所示。

圖1 電阻應變計粘貼位置

圖2 電橋電路圖

設電橋各橋臂的電阻值相等，即

R1＝R2＝R3＝R4＝R

當圓柱式彈性元件承受拉向載荷作用時，應變區(qū)產(chǎn)生軸向拉伸應力、環(huán)向壓縮應力，使電橋各

橋臂的電阻發(fā)生變化，即

R1＝R3＝R（1+δ）

R2＝R4＝R（1-μδ） （11）

式中δ－橋臂電阻的相對變化量；

μ－彈性元件材料的泊松比。

將電橋分為兩部分，在ABC半個電橋中，AC間的電壓降為Ui，R2上的電壓降為

（14）

式中 δ—橋臂電阻的相對變化量；

εδKLLKRR＝＝＝

ΔΔ

μ—彈性元件材料的泊松比；

K—電阻應變計的靈敏系數(shù)。

（15）

將式（15）用級數(shù)展開，并略去高次項，得

(εε72.0128.10.＝＝

iUUS （16）

從式（16）可以看出，輸出靈敏度與應變之間是非線性關系，只有在彈性元件的軸向應變ε足

夠小時，它們之間才呈線性關系，即

ε28.10＝＝

iUUS （17）

比較（16）、（17）兩式，其非線性誤差△2為

()εεεεε72.028.172.0128.128.12＝＝

..

Δ （18）

根據(jù)上述兩項誤差計算公式，即可得出彈性元件非線性誤差的量級，可用于指導選取非線性補

償半導體應變計，進行有效的線性補償。美國專利No3．034346號介紹了圓柱式彈性元件的非線性

補償技術。其方法就是把一片附加的半導體電阻應變計粘貼在彈性元件上，并與電橋電源相串連，

以這片半導體電阻應變計的輸出作為反饋，在非線性誤差的反方向來調節(jié)電橋電壓，對單調變化的

非線性誤差加以補償。

四、焊接密封膜片引起的非線性誤差

圓柱、圓筒式結構的稱重傳感器，通過環(huán)形平膜片或波紋膜片與彈性元件和外殼焊接實施密封。

其焊接密封的關鍵是即要保證密封，又要允許彈性元件與密封外殼之間有較小的相對運動，此問題

處理不好將產(chǎn)生非線性誤差。因此，必須對膜片的應用、性質和制造方法進行理論和應用研究。

圓柱、圓筒式稱重傳感器的外殼材料必須與彈性元件材料具有相同的線膨脹系數(shù)或采用與彈性

元件相同的材料，防止環(huán)境溫度變化時，由于超靜定結構變形不協(xié)調而產(chǎn)生內應力。因為外殼尺寸

改變導致密封腔內氣體壓力變化，致使膜片承受的內外壓力差改變，引起稱重傳感器的溫度漂移。

因此需要考慮溫度補償方法，主要是溫度變化時，要求波紋膜片對內應力和外殼的內外壓差有調節(jié)

功能。

波紋膜片是一種壓有同心折皺的圓形薄板，為便于和彈性元件、密封外殼焊接在一起，在膜片

中央和外圓周邊須留下一光滑部分，并彎成h=2mm高的直角邊，便于焊接密封，波紋膜片的結構

如圖3所示。

圖3 波紋膜片結構圖

波紋膜片作為一種密封膜，在稱重傳感器彈性元件產(chǎn)生位移（一般為0.2～0.5mm）時，其撓

度可以補償此位移，并基本保持固有的彈性性能。波紋膜片折皺的深度和形狀，即膜片表面的波紋，

可以設計成多種多樣結構，有正弦波紋、圓形波紋、梯形波紋、銳角波紋等，其波紋形狀如圖4所

示。

圖4 波紋膜片各種波紋示意圖

如果波紋膜片沿中心和周界固定，而又在中心產(chǎn)生一定的位移時，根據(jù)此位移的數(shù)值就能確定

作用力的大小。一般多根據(jù)位移或力與撓度之間的關系進行選擇，但波紋小的膜片具有明顯的非線

性特征，且膜片的剛度隨同其撓度的增大而增大。隨著膜片波紋深度的減小，膜片的性質就接近于

普通平簿板，完全沒有波紋膜片剛度小、能過分彎曲的特征。與平板膜片相比，將波紋膜片周邊彎

成2mm高的直角邊，對波紋膜片的特性無明顯影響，可保證其有足夠的撓度適應稱重傳感器彈性

元件的變形。波紋的波數(shù)、間距、從波紋部分到中心和周邊光滑部分的過度方式等問題，尚無試驗

研究，總之盡量短小即可。

以圓柱式稱重傳感器上膜片為例進行簡易計算：

彈性元件承受壓向載荷作用時，產(chǎn)生軸向位移，此位移就是膜片的中心撓度f0，可用下式表示

()24033116RfPEhμ.

= （19）

膜片中心所受力為

()

3021631EfhPRμ=

. （20）

膜片的厚度為

()24303116PRhEfμ.

= （21）

利用此公式計算出膜片厚度只是理論值，必須經(jīng)試驗測試后才能確定是否滿足補償要求。

焊接膜片造成的非線性，是分路負荷及膜片非線性的函數(shù)。它取決于膜片的偏位（即與圓柱式

彈性元件和外殼的同心度偏差），以及膜片中心固定處與周邊固定處之間的高度差。若膜片的偏位

為零，并且分路載荷較小，其綜合非線性誤差ec近似為

dLshcePPe= （22）

式中：PL—總載荷；

 Psh—膜片分掉的分路載荷；

 ed—膜片非線性。

調節(jié)膜片的偏位，可以補償彈性元件的正或負非線性誤差，但必須選擇合適的膜片厚度。適宜

的厚度和偏位，是優(yōu)良的非線性補償和低的分路載荷間的一種折衷方案。上述方程表明了此種折衷

考慮，因為對于厚膜片非線性誤差ed小而膜片分掉的分路載荷Psh大，對于薄面片正好相反是非線

性誤差ed大，而膜片分掉的分路載荷Psh小。

有些企業(yè)，圓柱、圓筒式稱重傳感器密封膜片的焊接作業(yè)，是在彈性元件非線性補償工藝完成

后進行，這對波紋膜片的設計和焊接工藝要求更高，必須保證焊接后密封波紋膜片不影響非線性補

償精度和輸出靈敏度。

五、圓柱、圓筒式稱重傳感器的旋轉（方位）誤差

圓柱、圓筒式稱重傳感器的理想輸

出應與環(huán)繞其軸線旋轉的水平方位角

無關，但通常并非如此，因旋轉而引起

的誤差可能是很顯著的。這種誤差，一

般是由于彈性元件承受了不希望有的

載荷分量（諸如側向載荷及彎曲力矩）

而造成的。此類旋轉誤差是電阻應變計

本身及其在彈性元件上粘貼部位（定位

誤差）所產(chǎn)生的附加非測量應變量的函

數(shù)。

現(xiàn)以圓筒式稱重傳感器為例分析

旋轉誤差，其力學模型如圖5所示。

圖5 圓筒式彈性元件力學模型

圓筒式彈性元件粘貼有兩片軸向（ε1、ε3）和兩片環(huán)向（ε2、ε4）電阻應變計，組成惠斯通全橋

電路。

設軸向坐標為Z，周向轉角為θ，則應力張量的形式為：

,

 （23）

這說明只存在周向應力θθσ、縱向應力σZZ和剪應力Zθσ。在理想加載時，圓筒式稱重傳感器

只承受均勻的壓縮應力σZZ，而周向應力θθσ和剪應力Zθσ則是由非軸向載荷和內壓力產(chǎn)生的，其

應變分布與以彈性模量E和泊松比μ計算的應力場有關，即：

 （24）

圓筒式彈性元件外表面的軸向和環(huán)向應力計算公式如下：

軸向應力：

())(22122θπσCosJMrrrFVZZ+

.

.= （25）

式中：M—彎矩

M=Ma－FhZ （26）

 J—慣性矩：

()442164Jrrπ=.

環(huán)向應力：

212221Pr2rr.

=θθσ （27）

式中 P—內壓力

以理想的方式對圓筒式彈性元件加荷時，施加在彈性元件上的載荷Fv等于軸向載荷F，即：

FV =F （28）

而側向力Fh、彎矩Ma和內壓力P均為零，則應變矩陣變?yōu)?/SPAN>

 （29）

式中： (21224rrFZZ.=πσ （30）

軸向電阻應變計測量的正應變（軸向應變）

EZZσ.，橫向電阻應變計測量的泊松應變（環(huán)向應

變）

EZZσμ，其電橋輸出靈敏度S為

式中：k—電阻應變計靈敏系數(shù)；

 εi—第i片電阻應變計的應變量；

 R0—未發(fā)生應變時電阻應變計的電阻值；

 Ri—第i片電阻應變計發(fā)生應變εi時的電阻值。

（38）

在這種理想的加荷條件下，稱重傳感器不發(fā)生旋轉效應，但是對于圓柱、圓筒式彈性元件根本

作不到這一點。當圓柱、圓筒式彈性元件的側向力Fh、彎矩Ma不為零時，將產(chǎn)生旋轉誤差。如果

電阻應變計圍繞圓柱、圓筒式彈性元件周圍相隔90°粘貼且Z為常量，各片電阻應變計的自身軸

線與彈性元件的軸線和環(huán)線無偏轉，則稱重傳感器的旋轉誤差可以減至最小。此時由彎矩和側向載

荷產(chǎn)生的附加應力及相應的應變，就可以通過合理的組橋加以有效的消除。

六、結語

本文已經(jīng)闡明了圓柱、圓筒式彈性元件面積效應產(chǎn)生的非線性誤差，泊松比效應致使電橋內某

一橋臂電阻的變化與相鄰橋臂電阻的反向變化不匹配所引起的電橋非線性誤差，電阻應變計定位偏

差造成的旋轉誤差�；�于數(shù)學分析和數(shù)學模型的系統(tǒng)方法得出的計算公式，能用來識別和定量的預

測相關誤差，并可應用于高準確度稱重傳感器旋轉加荷誤差的計算，電阻應變計定位誤差控制，指

導圓柱、圓筒式彈性元件及加載壓頭、承載底墊設計，以達到既確保能消除來自加力源頭的不希望

有的載荷及彎矩等影響，又確保能通過電橋電路得到非線性補償。

近年來，稱重傳感器設計與計算的一個重要發(fā)展方向，就是把數(shù)學分析和建立計算機模型，應

用于彈性元件及其附件設計中，即在理論分析指導下進行結構設計，在計算機動態(tài)仿真和試驗測量

基礎上確定最佳設計。這就是傳統(tǒng)設計理論的延伸、思維方法的改變，多種設計技術、理論與方法

的綜合，其特點是：設計手段精確化、計算機化和虛擬化。